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Mathematik beschleunigt Corona-Tests

(11.11.2020) Mit geschickten Pooling-Strategien lässt sich der Aufwand bei SARS-CoV-2-Tests reduzieren. Die Wahl der perfekten Poolgröße ist aber nicht so einfach.
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Gegenwärtige Pooling-Strategien beruhen auf einer Rück­kopplungs­schleife, um in einem zweiten PCR-Lauf die positive Einzelprobe in der Sammel­probe zu finden. Diese adaptive Heran­gehensweise kostet Zeit und Ressourcen. Wie nicht-adaptives Multi-Pooling funktioniert, verbildlicht Matthias Täufer, Mathematiker und wissen­schaft­licher Mitarbeiter im Lehrgebiet Analysis der Fernuni Hagen: „Wir verteilen 64 Proben auf einem Schachbrett, poolen Zeilen und Spalten und analy­sieren nur diese 16 Sammel­proben. Trägt nur eine infizierte Original­probe bei, wird sie anhand ihrer positiven Zeile und Spalte erkannt.“

Jetzt könnte man meinen, riesige Proben­mengen nur in einem n-dimen­sionalen Testwürfel anordnen zu müssen. Werden mehr Dimensionen gepoolt als positive Proben vorhanden sind, sollte sich jeder Infizierte finden lassen. So einfach ist es aber nicht.

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Mehr Dimensionen, weniger Falschpositive

Mehrere wechselseitige Parameter entscheiden über die Screening-Effizienz: Je mehr Proben in jedem Pool, umso höher ist der Proben­durchsatz. Verdünnte positive Proben führen aber zu falsch negativen Befunden. Je mehr Dimen­sionen, also Probenpools, umso weniger falsch positive Treffer. Mehr Probenpools erhöhen aber den Pipettier- und Zeitaufwand. Letztendlich muss man zwischen den Fragen abwägen: Welche Fehler­raten sind bei welchem Ressourcen­aufwand vertretbar? Und mit welcher Kombination aus diesen beiden lässt sich SARS-CoV-2 am ehesten eindämmen?

Gibt es dafür einen Sweetspot? „Einschritt-Pool­verfahren laufen immer Gefahr, jemanden fälschlich als positiv zu deklarieren", erklärt Täufer und ergänzt: „Als Faustregel sollte deshalb das Produkt aus der Inzidenz und der Poolgröße deutlich unter eins liegen!“ Für die Praxis heißt das: Kleine Pools bei hoher SARS-CoV-2-Durch­seuchung und große Pools bei wenigen Infektions­fällen. Die Anzahl notwendiger Tests skaliert neben der Poolgröße n mit der Gesamtzahl der Proben N und der Anzahl der Pools k (N*k/n). Pooling übertrumpft Individual­tests also um den Faktor n/k.

Seit den 60ern bekannt

Mathematiker entwickelten verschie­dene Ansätze, mit denen sich diese Abhängigkeiten in Pooling-Strategien umsetzen lassen. So ist das von Täufer erwähnte Einschritt-Pooling aus Arbeiten der Mathematiker Irving Reed und Gustave Solomon in den 1960er-Jahren als Shifted Transversal Design bekannt. Er erklärt: „k Aliquots jeder individuellen Probe werden auf k Pools verteilt, so dass zwei Proben in höchstens einem Pool gemeinsam landen. Sind mindestens so viele Pools wie positive Proben vorhanden, wird jede Probe korrekt identifiziert. Bei mehr Positiven klappt das nur noch mit hoher Wahr­scheinlichkeit aber nicht mit Gewissheit.“ Denn positive Proben in allen Pools steigern die Rate falsch positiver Ergebnisse.

Was heißt das für die Praxis? Im Realfall sind Häufigkeit und Verteilung positiver Proben unbekannt. Deshalb versagt die Schach­brettidee mit k=2 Pools. Bei nur 0,01 Prozent Durch­seuchung führt sie zu durch­schnittlich dreißig Prozent falsch Positiven. Aber schon mit k=3, also zum Beispiel dem Pooling entlang Zeilen, Spalten und einer zusätzlichen Diagonale, verringert sich die Falsch­positivrate auf drei Prozent. Weniger als zwei Fünftel sonstiger Individualtests reichen dazu aus. Primzahlige Poolgrößen und sich nicht schneidende Diagonalen unter­schiedlicher Steigung verbessern das Verfahren weiter, wie Täufer in einer Abhandlung beschreibt (J Theor Biol, 506:110450).

Eine unter Millionen

Also doch wieder 3D-Testwürfel? Ist nachweislich nur eine Probe infiziert, spüren Hypercube-Verfahren diese in wenigen Dutzend parallelen PCR-Läufen selbst unter einer Million Proben auf (Nature, DOI: 10.1038/s41586-020-2885-5). Für höhere Inzidenzen gibt Täufer aber zu bedenken: „Würfel­ebenen können sich beim Pooling in mehr als einem Punkt schneiden. Unter diesem Überlapp leidet die Leistungs­fähigkeit dieser Verfahren. Mit mehr als einer positiven Probe im Würfel sind falsch positive Resultate garantiert. Auch zehn­dimensionale Würfel ändern das nicht.“

Bei unbekannter Inzidenz verbessern Hypercube-Verfahren ihre Falsch­positivrate deshalb durch mehrere sukzessive PCR-Runden. Der Gewinn an Zeit und Aufwand schwindet. Die Alternative Tapestry, die von einer Gruppe indischer und US-ameri­kanischer Mathematiker entwickelt wurde, beruht auf sogenannten Steiner-Tripeln. Das Verfahren löst das Dilemma, indem es gesicherte und vermutlich Positive zurückgibt (medRxiv, DOI: 10.1101/2020.04.23.20077727).

Kein Vorteil bei hoher Durchseuchung

Allen nicht-adaptiven Verfahren, etwa auch dem in klinischer Validierung befindlichen pBEST (Sci Adv, 6(37):eabc5961) ist eines gemein: Sind mehr als ein paar Prozent aller Proben infiziert, brechen sie zusammen. Ab etwa zehn Prozent Durch­seuchung büßt Pooling aber sowieso seine Aufwands­vorteile ein.

Die zugrunde­liegende Frage lautet deshalb: Was soll mit Pooling-Verfahren überhaupt erreicht werden? „Wir müssen unterscheiden“, erklärt Täufer, „zwischen einer Diagnostik sympto­matischer Verdachtsfälle, die mit höherer Wahrschein­lichkeit positiv ausfällt, und Screening-Tests, die im Hoch­durchsatz unter Ressourcen­beschränkung verdachtslos Ergebnisse liefern sollen. Letztere sind keine medizinischen Diagnosen, sondern eher Warnungen, die Ärzte verifizieren müssen.“ Was dann auch einem von Christian Drostens Kritikpunkten (siehe LJ 10/2020) an nicht-adaptiven Sammel­verfahren Rechnung trüge.

Henrik Müller

Bild: Pixabay/geralt



Letzte Änderungen: 10.11.2020

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